Lien avec la physique

La notion de produit scalaire s’est développée au croisement des mathématiques et de la physique.
Son histoire commence au XIX^e siècle, alors que les scientifiques souhaitent mieux comprendre les mouvements et les forces. À cette époque, un mathématicien irlandais, William Rowan Hamilton, introduit le concept de quaternions, une structure algébrique contenant des vecteurs. Par la suite, d’autres chercheurs comme Josiah Willard Gibbs et Oliver Heaviside simplifient ces idées en développant le calcul vectoriel, qu’on utilise encore aujourd’hui.
C'est à ce moment-là qu’apparaît le produit scalaire, qui sert en quelque sorte à déterminer « dans quelle mesure » deux vecteurs vont dans la même direction.

Par exemple, intéressons-nous à un objet qui se déplace selon un vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et auquel s'applique une force \(\vec{F}\).
L'énergie fournie par la force \(\overrightarrow{F}\) au cours du déplacement selon le vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\) est appelée le travail de la force que l'on note \(W_{\text{A}\to\text{B}}(\overrightarrow{F})\). Elle s'exprime en joule et est donnée par la formule : \(\boxed{W_{\text{A}\to\text{B}}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{\text{AB}}}\).

Selon l’orientation de la force par rapport au déplacement, nous avons différents cas de figure :

• la force \(\vec{F}\) s'oppose au déplacement dans la direction du vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\) : le travail de la force \(\vec{F}\) est dit résistant, sa valeur est négative ;

• la force \(\vec{F}\) favorise le déplacement dans la direction du vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\) : le travail de la force \(\vec{F}\) est moteur, sa valeur est positive ;
• la force \(\vec{F}\) ne participe pas au déplacement dans la direction du vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}}\) : le travail de la force \(\vec{F}\) est nul.